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Presentations at an Academic or Professional conference (2009), MAS

Franchissement de courbe de niveau, formules de Rice et extremum

L'étude des extrema est fortement liée à celle des ensembles de niveau, l'approche par les ensembles de niveau permettant d'obtenir des résultats sur les comportements d'extrema de processus ou champs aléatoires. Le domaine des valeurs extrêmes constitue l'une des applications possibles parmi de nombreuses autres (géométrie stochastique, physique, optique, océanographie) et la littérature sur les ensembles de niveau s¿est sensiblement développée depuis le milieu du siècle dernier, en témoignent, suite au travaux pionniers de Rice, les livres de Cramér & Leadbetter (67), Adler (81), Wschebor (85) et plus récemment Adler et Taylor (07) et Azaïs et Wschebor (à venir), pour ne citer que les ouvrages parus (ou à paraître) sur le sujet. C'est dans ce cadre d¿ensembles de niveau que nous nous placerons, et plus spécifiquement en dimension 1, en s'intéressant au nombre de franchissements d'une courbe de niveau par un processus Gaussien stationnaire. Nous étudierons son comportement asymptotique selon la nature de la courbe de niveau (Kratz & Leon, submitted preprint). Il s¿agit de la généralisation d'un résultat que nous avions obtenu pour un niveau fixé, rendue possible grâce à l'utilisation des formules généralisées de Rice, de notre méthode générale donnant la représentation dans le chaos de Itô-Wiener et des TLCs pour des fonctionnelles de niveau de processus Gaussiens (K&L, 01), ainsi que d'outils techniques développés récemment (K & L, 06). Nous terminerons la discussion avec des applications, en particulier en référence aux extrema.

KRATZ, M. (2009). Franchissement de courbe de niveau, formules de Rice et extremum. In: MAS.